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小圏のホモトピー論

とみなし , その 調 べることは である なのは , から simplicial set への nerve functor, そしてそれの functor である

ある monoidal category V enrich された には , nerve V におけ simplicial object になる この , nerve functor ある

いくつかの V については , をとり することもでき えば , V である ただし , V , つまり small 2-category には , nerve にいくつかの 方法 ある

あるいは nerve をとることにより , ホモトピ いて 調 ることができるようになる その としては , Quillen [ Qui73 ] をみるとよ には , Weibel algebraic K -theory ( ここ から download できる ) IV 便 である について , この として である

Poset については , から しく 研究 されているので , その するのは である その つの として , Leinster による Euler characteristic がある

Euler えば ホモロジ であるが , small category ( ) ホモロジ する

より いると , ホモトピ とは モデル れることである そして nerve をとる functor weak equivalence つようにできるとよい そのような モデル としては , Thomason [ Tho80 ] したものがある 部不備 があり , Cisinski [ Cis99 ] して いる

  • Thomason model structure

Gagna [ Gag ] によると , nerve functor category homotopy category simplicial set category homotopy であるこ とは , Thomason よりず , Illusie thesis [ Ill71 Ill72 ] かれて いるらしい ただし , Quillen よるそうであるが それを model category いて したのが , Thomason であると すべきだ ろう

とも , nerve functor には もある えば , Fritsch Latch により [ FL79 FL81 ] されているように , nerve functor left adjoint c , つまり simplicial set category する functor nerve functor inverse にな ていない

  • n 2 N ( c n ∕∂ Δ n )) ~= Δ 0
  • n 2 N ( c (Sd((Δ n ∕∂ Δ n ))) ~= Δ 1

そのために Lee [ Lee72 ] Latch [ Lat77 ] などの c わりとなる functor みがある Latch Thomason Wilson [ LTW79 ] Latch した functor Γ right adjoint nerve functor N をし , object weak equivalence になる ことを している

, しては simplicial set する もできる

には , もう , weak equivalence とする モデル でき Joyal Tierney により [ JT91 ] された

  • Joyal Tierney model structure (folk model structure)

にも ホモトピ みとしては , Evrard [ Evr75 ] Hoff [ Hof75 ] のものも ある Evrard morphism , それにより ホモトピ path space loop space していて , Thomason model structure より かりやす Minian により [ Min02 ] などで しく 調 べられている Minian , この ホモトピ により Λ-cofibration category という , ホモトピ でき ることを している

  • Λ-cofibration structure

より である quiver モデル については , Bisson Tsemo により [ BT09 ] されたものがある その にな ているのは , Enochs Herzog [ EH99 ] のようであるが

Kuber Wilding [ KW ] , nerve らずに , category theory けで ホモトピ することを えている

ホモトピ えられている Strict 2-category Thomason ホモトピ Chiche [ Chi15 Chi ] Ara [ Ara15 ] 調 られている Strict n -category については , Ara Maltsiniotis 研究 [ AM14 AM ] Gagna [ Gag ] がある Strict ω -category について , Steiner augmented directed complex いた アプロ [ Ste04 ] ある

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