Twisted Cohomology Theories

数 理 物 理 の 要 請 から K -theory の twisted version が 活 発 に 研究 されるように な っ て 以 来 , K -theory 以 外 の cohomology の twisted version も 色 々 考 えら れている 。 また , 局 所 係 数 の コホモロジ ー も twisted cohomology の 一 種 で ある 。

Atiyah と Segal は [ AS04 ] で , 一 般 コホモロジ ー の twisting の アイデア を 簡 単 に 述 べ ている 。 また [ AS06 ] の 6 で de Rham cohomology の twisting について 述 べて いる 。

• twisted de Rham cohomology

Atiyah と Segal の 論 文 に 書 いてあるのは , de Rham complex の 微分 を 3-form で twist する , というものであるが , Bunke と Schick と Spitzweck は [ BSS07 ] で twisted K -theory の Chern character の 受 け 皿 としては , そのような 素 朴 な 方法 では twisting に 関 し functorial にならないという 問 題 があることを 指 摘 し , 代 りに stack の cohomology としての 定 義 を 提 案 している 。 Topological version としては , [ BSS11 ] を 見 ると よい 。

Twisted generalized cohomology の 公 理 化 については , Bunke と Schick の [ BS05 ] に 試 みがある 。 彼 等 は , その 後 [ BS06 ] で orbispace の twisted cohomology の 公 理 にいつ いて 述 べている 。 他 にも Floer homology との 関 連 で twisted parametrized spectrum と いうものを 考 えている 人 もいる 。

通 常 の 一 般 コホモロジ ー からその twisted version を 構 成 する 方法 については , Atiyah と Segal の 論 文 に 簡 単 に 述 べてある 。 より 精 密 には , Waldmüller が [ Wal ] で 考 え ているように , May と Sigurdsson [ MS06 ] の parametrized spectrum を 用 いるのがよい のだろう 。

• parametrized spectrum

Waldmüller は , twisted K-theory と twisted Spin ^c -cobordism を 表 現 する スペクト ラム を 構 成 している 。 より 詳 しくは May と Sigurdsson の 本 [ MS06 ] の Part V を 見 ると よい 。 Equivariant version についても 書 いてある 。 Hebestreit と Joachim の [ HJ ] では , twisted Spin cobordism と positive scalar metric の 存 在 の 問 題 の 関 係 について 解 説 さ れている 。

• twisted Spin cobordism
• twisted Spin ^c cobordism

Ando と Blumberg と Gepner ら [ ABG ⁺ ,  ABG10 ] は , ring spectrum の multiplicative unit の 分 類 空 間 を 用 いている 。 そして , Thom spectrum としての twisting を 考 えている 。 も っ とも 一 般 化 された 意 味 での Thom spectrum であるが 。 別 の 見 方 をすれば , S -algebra を fiber とする line bundle による twisting で ある 。

彼 等 は [ ABG10 ] では , elliptic cohomology の twisting を 考 えている 。 Sati は [ Sat10 ] で tmf の twisting を M-theory に 使 うことを 考 えている 。 更 に , [ SW ] では , Westerland と Morava K -theory の twisting を 考 えている 。

Equivariant elliptic cohomology の twisting については , Berwick-Evans の [ BE ] が ある 。 ⊗ ℂ したものであるが 。

References