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Type n Complex

Ravenel づいた Hopkins らの 仕事 [ HS98 DHS88 ] により ホモト において v n であるという された

, finite spectrum して type n という したが , それによると finite spectrum はある n について type n になる finite spectrum ホモトピ えるときには , type n complex という ある

  • p -local finite spectrum X , K ( n - 1) * ( X ) K ( n ) * ( X ) になるとき type n ばれる

type n complex としては のようなものがある

Hopkins Smith [ HS98 ] Periodicity Theorem により type n complex v n -self map

  • v n -self map
  • Periodicity Theorem

Toda-Smith V ( n ) には p ( さな ) n について v n -self map されてきたが , p さいと きくなる がある

えば , Moore spectrum V (0) ( v 0 1 = p : S S cofiber) v 1 -periodic map については , p のときは Adams map

     2p-2
v1 : Σ   V(0) -→ V(0)

があるが , p = 2 では v 1 せず

 4   8
v1 : Σ V (0) -→ V(0)

することが られている このように , periodicity めるのは , かな 仕事 である これの v 2 での Behrens Hill Hopkins Mahowald [ BHHM08 ] ている

このようなことについては , Bhattacharya Egger [ BE ] Introduction むと よい , p = 2 のときに , 1 v 2 -self map finite spectrum class している

finite spectrum ring structure については , 以下 のようなことが られている Mathew, Naumann, Noel [ MNN15 ] Remark 4.3 Tyler Lawson observation として べられている

  • finite spectrum R E -ring structure てば , type 0 weakly contractible である

References

[BE]     Prasit Bhattacharya and Philip Egger. A class of 2-local finite spectra which admit a v 2 1 -self-map, arXiv:1608.06250 .

[BHHM08]     M. Behrens, M. Hill, M. J. Hopkins, and M. Mahowald. On the existence of a v 2 32 -self map on M (1 , 4) at the prime 2. Homology, Homotopy Appl. , 10(3):45–84, 2008, arXiv:0710.5426 .

[DHS88]     Ethan S. Devinatz, Michael J. Hopkins, and Jeffrey H. Smith. Nilpotence and stable homotopy theory. I. Ann. of Math. (2) , 128(2):207–241, 1988, http://dx.doi.org/10.2307/1971440 .

[HS98]     Michael J. Hopkins and Jeffrey H. Smith. Nilpotence and stable homotopy theory. II. Ann. of Math. (2) , 148(1):1–49, 1998, http://dx.doi.org/10.2307/120991 .

[MNN15]     Akhil Mathew, Niko Naumann, and Justin Noel. On a nilpotence conjecture of J. P. May. J. Topol. , 8(4):917–932, 2015, arXiv:1403.2023 .

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[Smi71]     Larry Smith. On realizing complex bordism modules. II. Applications to the stable homotopy of spheres. Amer. J. Math. , 93:226–263, 1971, http://dx.doi.org/10.2307/2373459 .

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[Tod71b]     Hirosi Toda. On spectra V ( n ). In Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , pages 273–278. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971.